Система Orphus
  Сайт второшкольников
Написать
письмо
Лицей «Вторая школа».    Домашняя олимпиада ВМШ – 2013 / 2014.  
 
Кто хочет, пишет решения и сдает учителю в течение 2 недель.
В середине и конце года будет награждение участников.


5 -7 класс.  

Лист 1.
1. Ученицы Мария, Нина, Ольга и Полина заняли первые 4 места в соревнованиях. До соревнований были сделаны 3 прогноза: 1) Ольга 2-я, Полина 3-я; 2) Ольга 1-я, Нина 2-я; 3) Мария 2-я, Полина 4-я. В каждом прогнозе оказалась верной только одна половина. Кто какое место занял?

2. Каждая монета весит целое число граммов. Имеется 10 настоящих монет и 11 фальшивых, которые на 1 г легче настоящих. Отметили одну монету. Как с помощью одного взвешивания на весах со стрелкой узнать, какая это монета, настоящая или фальшивая? (На вид монеты одинаковые, класть на весы можно любое число монет, весы показывают общий вес).

3. В замке одинаковые комнаты расположены по кругу и последовательно соединены коридорами. В каждой комнате есть люстра и выключатель. Можно ходить по коридорам и при желании включать или выключать свет. Известно, что комнат не больше ста. Как узнать точное число комнат, если в начальный момент некоторые люстры горят?

4. Из четырех различных цифр составили два четырехзначных числа – наибольшее из всех возможных и наименьшее. Сумма этих чисел 10477. Найдите исходные цифры. 

Лист 2.
1. На батоне колбасы нарисованы тонкие кольца. Если разрезать по красным кольцам, получится 5 равных кусков, если по жёлтым – 7 равных кусков, а если по зелёным – 11 равных кусков. Сколько кусков колбасы получится, если разрезать по кольцам всех трёх цветов?

2. Астролог считает номер года счастливым, если в его записи используются в любом порядке четыре цифры подряд. Например, 2013 год такой. А когда, по мнению астролога, был предыдущий счастливый год? (Цифры идут по кругу, например, идут подряд 9,0,1,2).

3. В классе 26 человек, они получили за контрольную только 3, 4, 5. Всего они набрали 111 баллов. Каких отметок они получили больше: троек или пятерок и на сколько больше?

4. В левом нижнем углу шахматной доски (8×8) стоит ладья. Двое по очереди двигают ее на любое число клеток вправо или вверх. Кто первым поставит ладью в правый верхний угол, тот победил. Кто из игроков  может гарантировать себе победу: «первый» или «второй»?

Лист 3.
1. Прямая покрашена в красный и синий цвет (каждая точка прямой считается либо красной, либо синей). Докажите, что найдутся две точки одинакового цвета, расстояние между которыми целое число сантиметров.

2. На координатной прямой отмечен отрезок АВ длиной 1 см, отмечены 3 точки слева от АВ и 4 точки справа от АВ. Сумма расстояний от всех семи точек до А равна 2013 см. Чему равна сумма расстояний от всех точек до В?

3. Имея полный бак топлива, катер может проплыть 72 км против течения реки или 120 км по течению. Хватит ли ему топлива, чтобы отплыть на 45 км и вернуться обратно? (Мотор всегда включен.)

4. Перед соревнованиями по плаванию 4 спортсмена А, Б, В и Г давали интервью. А сказал: «Я буду первым». Б сказал: «Я не буду последним». В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним». Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что ошибся ровно один из спортсменов. Кто ошибся? Кто был первым?

Лист 4.

Лист 5.
1. Маша и Саша, поссорившись, пошли с равными скоростями в  противоположные стороны. Через 3 минуты Саша решил помириться и, развернувшись, стал догонять Машу, увеличив скорость в три раза. Сколько пройдёт минут, прежде чем он догонит Машу?

2. Расставьте на доске 8×8 на черных полях 9 черных шашек так, чтобы белая шашка одним ходом съела все 9. (Белая шашка прыгает по диагонали через черную шашку и при этом ее съедает). 

3. В турнире участвовало 8 шахматистов. Они набрали соответственно 7; 6; 4; 4; 3; 2; 1; 1 очков. Сколько очков игроки, занявшие первые четыре места, потеряли вместе во встречах с остальными? (Победа – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0 очков).

4. На столе лежат три красные палочки, сумма длин которых 30 см, и пять синих палочек, сумма длин которых тоже 30 см. Как распилить палочки, чтобы можно было расположить их все парами, причём в каждой паре палочки были одинаковой длины, но разного цвета? Длины палочек могут быть разными и не целыми.

Лист 6.
1.    Сумма двух натуральных чисел равна 210. Докажите, что их произведение не делится на 210.

2.    На окружности поставили 10 белых точек и одну красную. Рассматривают всевозможные многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше: у которых все вершины белые (назовем их белыми), или у которых есть красная вершина (назовем их красными)?

3.    В классе 23 учащихся. Выше Пети 17 человек, ниже Васи – 13. Сколько человек выше Пети, но ниже Васи, если любые двое разного роста?

4.    В таблице 6×6 расставьте 10 крестиков так, чтобы в каждой строке и каждом столбце число крестиков было четным. (Ноль это четное число).

Лист 7.
1. У Пифагора спросили, сколько учеников в его школе. Он ответил, что половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть – пребывает в молчании, да еще три женщины. Сколько учеников было у Пифагора?
 
 2. Крестьянка продавала дыни. Первый покупатель купил половину дынь и еще полдыни, второй покупатель купил половину остатка и еще полдыни, и третий покупатель купил половину остатка и последние полдыни. Сколько дынь было у крестьянки?
 
 3. Двое по очереди ставят ладью на доску 8×8 так, чтобы ладьи не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Докажите, что второму игроку обеспечена победа.
 
 4. По кругу расставлены цифры 1, 2, 3, ..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число. Найдите сумму всех девяти таких трехзначных чисел.

Лист 8.
1. Разрежьте квадрат на прямоугольники так, чтобы каждый граничил по отрезку ровно с четырьмя другими (касание одной точкой не считается).

2. В стране 15 городов, и каждый из них связан дорогами по крайней мере с 7 другими. Докажите, что из любого города можно проехать в любой другой по дорогам. Между двумя городами есть только одна дорога.

3. В 2010-м году в школе № 1 доля мальчиков равнялась 50%, а в школе № 2 – 80%. В 2011 году в каждой из школ доля мальчиков не изменилась, однако в двух школах вместе доля мальчиков стала больше чем 2010 году. Приведите пример, как такое могло произойти.

4. Матч «Динамо» – «Спартак» закончился со счётом 8 : 5. Докажите что в матче был момент, когда «Динамо» оставалось забить столько же голов, сколько «Спартак» уже забил.
 
Лист 9.
1. У Васи есть 12 черных и 15 белых кубиков одинакового размера 1×1×1. Из них он складывает куб 3×3×3. Какое наибольшее число граней (квадратиков) черных кубиков может оказаться на поверхности получившегося куба?

2. В последовательности 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21… каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом два числа, делящиеся на 7?

3. Буратино расставляет по кругу целые числа от 1 до 100 в каком-то порядке. За каждое число, которое больше обоих своих соседей, он получает монетку. Какое наибольшее число монет может получить Буратино? 

4. Плот спускается вниз по течению реки от А до Б за 10 минут, а плывущий вниз катер – за 4 минуты. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости реки? 

Лист 10.

Лист 11.
1. Полицейский бежит за грабителем (оба движутся с постоянными скоростями). Когда грабитель пробегал мимо столба, полицейский находился позади него на расстоянии 120 м, а когда полицейский добежал до столба, расстояние до грабителя сократилось до 100 м. На каком расстоянии от столба полицейский догонит грабителя?

2. Клетки квадрата 300x300 покрасьте в 3 цвета (каждую клетку в один цвет) так, чтобы клеток каждого цвета было поровну, и при этом ни в одной строке и ни в одном столбце не встретились все три цвета.

3. У Гены 10 предметов, и он знает вес каждого. Чебурашка может узнать у Гены общий вес любых трех предметов. Как за 6 вопросов узнать общий вес всех десяти предметов?

4. Клетки доски 10x10 пронумерованы от 0 до 99 (в первой строке от 0 до 9 слева направо, во второй -- от 10 до 19, в последней – от 90 до 99). Как ни поставь на доску 10 ладей, не бьющих друг друга, сумма номеров клеток, на которых они стоят, будет одна и та же. Почему?

Лист 12.

Лист 13.

1.    Винни-Пух соревновался с Пятачком в беге на 100 метров. Когда Пух прибежал к финишу, Пятачку оставалось до него ещё 20 метров. На сколько метров надо отодвинуть назад стартовую линию для Пуха, чтобы при новом забеге оба финишировали одновременно?

2.    Расставьте 24 рыцаря и 25 лжецов на доске 7x7 так, чтобы каждый из них мог сказать: "Рядом со мной стоит ровно один рыцарь". Как обычно, рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда врут. Люди считаются стоящими рядом, если у занимаемых ими клеток есть общая сторона.

3.    На плоскости произвольно отмечены 4 точки, которые нужно покрасить в красный или синий цвет так, чтобы никакая прямая линия не могла их разделить (чтобы красные были по одну сторону прямой, а синие – по другую). (Прямая через точки не проходит, оба цвета присутствуют).

4.    Из А в Б ведет единственная дорога длиной 15 км. В 9.30 из А в Б вышел путник со скоростью 4 км/ч. На следующий день он вышел в 11.00 из Б в А со скоростью 5 км/ч. Путник заметил, что он переходил один и тот же ручей вчера и сегодня в одно и то же время. В котором часу это было?

Лист 14.

Лист 15.

В этом учебном году лист 15 был последним...

3 - 4 класс.  

Лист 1.
1. Среди 12 щенков 8 ушастых и 9 кусачих, и других нет. Сколько среди этих щенков ушастых и кусачих одновременно?

2. Женя съела половину всех яблок и ещё одно яблоко, после чего у неё осталось два яблока. Сколько яблок съела Женя?

3. Сколько было брёвен, если сделали 5 распилов и получили 8 чурбаков? За один раз пилят только одно бревно.

4. Как набрать из реки 6 л воды, если есть два ведра вмещающие 4 л и 9 л ?

Лист 2.
1. Среди купленных конвертов было 15 голубых и 10 с марками. На 5-и голубых конвертах были марки. Сколько куплено конвертов?

2. У котят и цыплят 42 ноги и 12 голов. Сколько было котят и сколько было цыплят?

3. Соня живёт в 16-этажном доме на 7 этаже, если считать сверху. На каком этаже живёт Соня?

4. В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидят дядя Фёдор, кот Матроскин, пёс Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и дядей Фёдором, то Фёдор окажется крайним слева. Кто где сидит?

Лист 3.
1. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего партий они сыграли.

2. Мама дала Коле 100 рублей. Он купил несколько порций мороженого по 17 рублей и получил сдачу 5-рублевыми монетами. Сколько монет получил Коля на сдачу?

3. Винни-Пуху подарили на день рождения бочонок меда весом 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал весить 4 кг. Сколько килограммов меда осталось бочонке?

4. Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом, и попросили соединить их в одну цепь. Кузнец выполнил заказ, раскрыв только 3 звена. Как он это сделал?

Лист 4.

Лист 5.
1. Найдите самое маленькое число, сумма цифр которого равна 20.

2. Половину мёда разлили в трёхлитровые бочонки и половину – в пятилитровые. Всего 40 бочонков. Сколько было трёхлитровых бочонков?

3. Расставьте на доске 8×8 на черных полях 9 черных шашек так, чтобы белая шашка одним ходом съела все 9. (Белая шашка прыгает по диагонали через черную шашку и при этом ее съедает). 

4. В зале стоит несколько скамеек. Если на каждую скамейку сядут 2 ученика, то 5 учеников останутся без места. Если же на каждую скамейку сядут 3 ученика, то 5 скамеек останутся свободными. Узнай число учеников и количество скамеек в зале.

Лист 6.
1.    В туристический лагерь прибыло 200 учеников из Москвы и Орла. Мальчиков среди прибывших было 120 человек, из которых 70 – москвичи. В числе учеников прибывших из Орла, девочек было 50. Сколько учеников из Москвы?

2.    Сумма двух чисел равна 385. одно из них оканчивается нулём. Если 0 зачеркнуть, то получится второе число. Запиши, какие это числа.

3.    В классе 23 учащихся. Выше Пети 17 человек, ниже Васи – 13. Сколько человек выше Пети, но ниже Васи, если любые двое разного роста?

4.    В таблице 6×6 расставьте 10 крестиков так, чтобы в каждой строке и каждом столбце число крестиков было четным. (Ноль это четное число).

Лист 7.
1.    В двух вёдрах было поровну воды. Когда из первого ведра перелили во второе 2 л воды, то во втором стало 16 л. Сколько литров воды осталось в первом?

2.    Нарисуйте 3 прямые линии и отметьте на них 6 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки.

3.    Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, никакие два из которых не имеют общей стороны. (Стороны прямоугольников могут иметь общую часть, но не могут совпадать.)

4.    Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зелёные, а рубашка – нет. Каких цветов были туфли и рубашки на клоунах?

Лист 8.
1. 6 ручек и 7 карандашей стоят столько же, сколько 36 ластиков. Что дороже 7 ручек и 8 карандашей или 42 ластика?

2. Продолжите последовательность 2,6,12,20,30,… и объясните закономерность.

3. Федя всегда говорит правду, а Саша всегда врёт. Им задали одновременно один и тот же вопрос, а они дали на него одинаковые ответы. Как такое могло быть?

4. 7 кроликов за 3 дня съедают 21 мешок корма. Сколько мешков корма надо пяти кроликам на 4 дня?

Лист 9.
1. На улице став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?

2. На окраску кубика ушло 6 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить неокрашенную часть их поверхности?

3. Расшифруйте ребус, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам – разные: А + ВВ + А = ССС  (ВВ – это двузначное число, а ССС – трехзначное).

4. На школьной олимпиаде по математике участникам было предложено решить 6 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось по 7 очков, а за каждую нерешенную списывалось 3 очка. Сколько задач решил участник, если он набрал 12 очков?

Лист 10
1. Белка спрятала орехи в дуплах трёх деревьев. В дуплах первого и второго вместе – 45 орехов, второго и третьего – 60 орехов, а первого и третьего – 55 орехов. Сколько орехов оказалось в дупле каждого дерева?

2. Кирпич весит 2 кг и ещё треть собственного веса. Сколько весит кирпич?

3. Как расставить 10 стульев у четырёх стен комнаты так, чтобы у каждой стены стояло по 3 стула?

4. В ящике перемешаны по 100 яблок трёх сортов. Какое наименьшее число яблок надо вынуть из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди них наверняка оказались:
а) хотя бы 2 яблока одного сорта;
б) хотя бы 3 яблока одного сорта?

Лист 11.
1. Коза съедает 6 кг сена за 6 часов, а корова – в 2 раза быстрее. За какое время они съедят 6 кг сена вместе?

2. Квадрат со стороной 10 см разрезали на квадратики со стороной 1 см, и выложили маленькие квадратики в один ряд. Какой длины получился ряд?

3. Среди 10 кроликов 5 имеют пятно на левом боку, 6 - на правом боку, 2 - не имеют пятен. Сколько кроликов имеют пятна на двух боках?

4. Разрежьте квадрат на 6 одинаковых (равных) частей так, чтобы эти части были не прямоугольниками и не треугольниками.

Лист 12.
1. По круговой дорожке длиной 300 м в одном направлении бегут Антон и Олег. Антон обгоняет Олега через каждые 12 минут. Через 36 минут бег прекратили. На сколько больше кругов пробежал Антон?

2. Пять трёхметровых бревна распилили на метровые чурбаки. Сколько сделали распилов?

3. Кот Базилио поймал за 4 дня 80 мышей. При этом каждый день он ловил столько, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мышей поймал кот в каждый из этих четырёх дней?

4. В ведре 8 л воды, а банки на 5 л и 3 л пусты. Как переливать воду, чтобы в ведре и большой банке оказалось по 4 литра воды?

Лист 13.
1.    В гараже стоят 100 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колёс, а легковые – по 4 колеса. Сколько и каких автомобилей в гараже, если колёс всего 460?

2.    Рассказ в книге начинается со второй страницы. Чтобы пронумеровать все страницы рассказа потребовалось 100 цифр. Сколько страниц в рассказе?

3.    Вдоль беговой дорожки равномерно расставлены столбы. Старт дан у первого столба. Через 12 минут бегун был у четвёртого столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у седьмого столба, если скорость его постоянна?

4.    Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне теперь лет?

Лист 14
1.    Разрежьте циферблат стрелочных часов прямолинейным разрезом на две части так, чтобы суммы цифр в обеих частях были равными.

2.    Напишите четыре натуральных числа, не обязательно различных, чтоб их сумма и произведение равнялись 8.

3.    У мальчика столько же сестёр, сколько братьев. А у его сестры в 2 раза больше братьев, чем сестёр. Сколько детей в этой семье?

4.    Квадратная шоколадка 5×5 см состоит из 25 квадратных долек 1×1 см. Требуется разрезать шоколадку по канавкам на 5 частей (не обязательно равных) по 5 долек в каждой так, чтобы общая длина разрезов равнялась 16 см.

Лист 15
1.    На участке дороги длиной 90 м школьникам поручено посадить деревья так, чтобы между ними были расстояния в 9 метров. Сколько деревьев должны посадить школьники?

2.    Кузнец подковывает одно копыто за 5 минут. Сколько времени потребуется 8 кузнецам, чтобы подковать 10 лошадей, если на двух ногах лошадь стоять не может?

3.    У Васи по математике вдвое больше пятёрок, чем четвёрок. Сколько у него четвёрок и сколько пятёрок, если всего их 21?

4.    Четверых мальчиков зовут Денис, Илья, Андрей, Вова.  Кого из мальчиков как зовут,  если Илья не самый высокий, но всё же он выше Дениса и Вовы, а Денис не выше Вовы?

Лист 16.
1.    В числе 548692701 зачеркните три цифры так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

2.    Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на десятом месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Вася был пятнадцатым с конца?

3.    На трёх проводах сидели 24 воробья. Когда с первого провода на второй перелетели 4 воробья, а со второго на третий – 3 воробья, то на всех проводах воробьёв стало поровну. Сколько воробьёв сидело на каждом проводе первоначально?

4.    Митя с Ваней решили купить мяч. У Мити не хватило 20 рублей, чтобы его купить, а у Вани – 30 рублей. Тогда они купили один мяч на двоих, причём 60 рублей у них ещё осталось. Сколько стоил мяч?


Лист 17
1.    На доске записаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. Укажите в каком порядке нужно выполнить такие операции, чтобы осталось только число 15?

2.    В двух кучках лежит по 10 камешков. Двое по очереди берут камешки. За один ход игрок может взять любое число камешков, но только из одной кучки. Побеждает тот, кому достанется последний камешек. Может ли кто-нибудь из игроков (первый или второй) играть так, чтобы всегда выигрывать?

3.    Составьте три квадрата а) из 10, б) из 11, в) из 12 спичек.

4.    Продолжи последовательность  1, 1, 2, 3, 5, 8,… и объясни закономерность.

Лист 18.
1.    В семье четверо детей: Аня, Миша, Вера, Женя. Им 5, 8, 13 и 15 лет. Девочка ходит в детский сад. Аня старше Миши. Сумму лет Ани и Жени можно разделить на 3. Кто Женя: мальчик или девочка? И сколько кому лет?

2.    Аладдин должен вынести из пещеры 10 монет. Чтобы выйти из пещеры, нужно пройти 3 двери, около каждой из которой стоит страж. Он пропускает лишь тех, кто отдаст половину всех монет и ещё одну монету. Сколько монет должен взять Аладдин в пещере?

3.    Имеются песочные часы на 3 минуты и 7 минут. Надо опустить яйцо в кипящую воду на 4 минуты. Как отсчитать это время с помощью данных часов?

4.    Среди 9 одинаковых по виду монет одна фальшивая. Она легче настоящей монеты. Как за два взвешивания на чашечных весах установить, какая монета фальшивая?

Лист 19.
1.    В субботу в 4 классе четыре урока: два урока русского языка, математика и природоведение. Сколькими способами можно составить расписание?

2.    Если к половине моих лет прибавить 7, то получится мой возраст 13 лет тому назад. Сколько мне лет?

3.    Разгадайте ребус  АР + РАК = АКР. Разным буквам соответствуют разные цифры.

4.    Составьте слова из следующих наборов букв:  ноолпе, оррекдти, снадегпо.

В этом учебном году лист 19 был последним...