Каждую неделю на сайте будут выложены 4 задачи конкурса ВМШ. Если Вам удалось решить хотя бы 1 задачу, то приносите решения на следующее занятие на двойном тетрадном листочке или присылайте сканы/фотографии решений своему преподавателю. На работе напишите свою фамилию, имя, класс, день недели, номер листа, поставьте дату. Образцы оформления решений скоро появятся на сайте. Все задачи взяты из устных зачетов для поступающих прошлого года.

ЛИСТ 1, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019.

1. Внутри квадратной коробки положите вдоль стенок 12 монет так, чтобы вдоль каждой стенки лежало по 5 монет.
2. Разрежьте данную фигуру по сторонам клеток на две одинаковые части.
3. Верёвку длиной 15 метров разрезали на 2 части, одна в 2 раза длиннее другой. Какова длина короткого куска?
4. В коробке шоколадные конфеты выложены в один слой в виде квадрата. Сладкоежка Костя съел все конфеты по краям в один ряд — всего 20 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?

 

ЛИСТ 1, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019.

1. Пожатие. В летней школе объявили день вежливости: каждый мальчик поздоровался за руку с каждой девочкой. Всего произошло 323 рукопожатия. Какое наименьшее число учеников могло быть в летней школе?
2. Правда. В комнате 12 человек, некоторые честные, а остальные лжецы. 1-й сказал: «Среди нас нет честных людей», 2-й сказал: «Среди нас не более 1-го честного», 3-й сказал: «Среди нас не более 2-х честных», и т.д. 12-й сказал: «Среди нас не более 11-и честных». Сколько могло быть честных людей в этой комнате?
3. Погоня. Мушкетер бежит за лошадью. Когда лошадь пробегала мимо трактира, мушкетер находился от нее на расстоянии 120 футов, а когда мушкетер добежал до трактира, то ему оставалось до лошади 100 футов. На каком расстоянии от трактира мушкетер догонит лошадь, если их скорости постоянны?
4. Сочетание. Сколько раз встречается сочетание 42 в записи чисел от 1 до 10 000?

 

ЛИСТ 2 , 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019.

1. Щенки. Среди 12 щенков 8 ушастых и 9 кусачих, и других нет. Сколько среди этих щенков ушастых и кусачих одновременно?
2. Яблоки. Женя съела половину всех яблок и ещё одно яблоко, после чего у неё осталось два яблока. Сколько яблок съела Женя?
3. Конверты. Среди купленных конвертов было 15 голубых и 10 с марками. На 5-и голубых конвертах были марки. Сколько куплено конвертов?
4. Этажи. Соня живёт в 16-этажном доме на 7 этаже, если считать сверху. На каком этаже живёт Соня?

 

ЛИСТ 2, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019.

1. Ребус. Решите ребус: abcd * 9 = dcba, где разными буквами обозначены разные цифры. (Четырехзначное число умножили на 9 и получили число из тех же цифр, но в обратном порядке.)
2. Пирожки. Аня съела половину всех пирожков и еще 1. Потом Боря съел половину оставшихся пирожков и еще 1. Затем, Вера съела половину остатка и еще 1. Наконец, Гоша съел половину оставшихся пирожков и еще 1. В итоге пирожков не осталось. Сколько было пирожков в начале?
3. Вруны. Знайка подошел к близнецам Винтику и Шпунтику, зная, что один из них точно врун, и спросил одного: «Ты Винтик?» «Да», – ответил тот. Знайка спросил другого: «Ты Винтик?», и по ответу сразу определил, кто есть кто. Верно ли, что оба брата вруны?
4. Нули. Найдите 3 различных натуральных числа, сумма которых не превышает 500, а произведение оканчивается на 6 нулей. 

 

ЛИСТ 3, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Вода. В двух вёдрах было поровну воды. Когда из первого ведра перелили во второе 2 л воды, то во втором стало 16 л. Сколько литров воды осталось в первом?
2. Точки. Нарисуйте 3 прямые линии и отметьте на них 6 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки.
3. Разрезы. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, никакие два из которых не имеют общей стороны. (Стороны прямоугольников могут иметь общую часть, но не могут совпадать.)
4. Клоуны. Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зелёные, а рубашка – нет. Каких цветов были туфли и рубашки на клоунах?

 

ЛИСТ 3, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Соль. Купец на все свои деньги закупил в Твери соль, продал ее в Москве, и денег у него стало на 120 руб. больше. Затем он снова на все деньги купил в Твери соль и продал в Москве. На этот раз чистая прибыль составила 140 рублей. Сколько денег он потратил на первую покупку?
2. Цепочка. У Васи 16 обрывков золотой цепочки. У 8-и из них по 4 звена, а у остальных по 5 звеньев. Вася хочет соединить все эти звенья в одну незамкнутую цепочку. Какое наименьшее число звеньев придется ему распилить, а потом запаять?
3. Стулья. Сколькими способами можно расставить в ряд 15 одинаковых стульев черного цвета и 15 – красного цвета, чтобы никакие два черных стула не стояли рядом?
4. Холмс. К Холмсу пришли 7 человек, он знает, что среди них 4 рыцаря и 3 лжеца. Холмс задавал им вопросы типа: «Скажи, такой-то человек, рыцарь или лжец?» и узнал про каждого, рыцарь ли он. Объясните, как Холмс мог это сделать за 6 вопросов. Все они знают, кто есть кто.

 

ЛИСТ 4, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Вопрос. Федя всегда говорит правду, а Саша всегда врёт. Им задали одновременно один и тот же вопрос, а они дали на него одинаковые ответы. Как такое могло быть?
2. Весы. На одну чашу весов положили кирпич, а на другую – гирю 2 кг и еще половину кирпича. Весы оказались в равновесии. Сколько весит кирпич?
3. Длина. Квадрат со стороной 10 см разрезали на квадратики со стороной 1 см, и выложили маленькие квадратики в один ряд. Какой длины получился ряд?
4. Кролики. Среди 10 кроликов 5 имеют пятно на левом боку, 6 - на правом боку, 2 - не имеют пятен. Сколько кроликов имеют пятна на двух боках?

 

ЛИСТ 4, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Треугольник. Какое наименьшее число точек нужно отметить на плоскости так, чтобы после стирания любой из них среди оставшихся точек нашлись три точки, служащие вершинами равностороннего треугольника? (Треугольники могут быть разных размеров).
2. Пятерки. За контрольную работу каждый из 25 школьников получил одну из оценок «3», «4» или «5». На сколько больше было пятёрок, чем троек, если сумма всех оценок равна 106?
3. Башня. На площадку 3×5 клеток надо поставить кубики с основанием в одну клетку так, чтобы башня имела виды спереди и сбоку, как на рисунке. Какое наименьшее число кубиков понадобится? Кубики могут быть на разном расстоянии от зрителя, виды с противоположных сторон совпадают. а) нарисуйте площадку 3×5 и укажите в каждой клетке высоту столбика; б) докажите, что меньшим числом кубиков обойтись нельзя. (За каждый пункт «+/2»).
4. Делитель. Играют двое, они по очереди слева направо выписывают по одной цифре, пока не получится 12-значное число. Если в итоге число не делится на 7, то выигрывает первый, а если делится на 7, то – второй. Кто может гарантировать себе выигрыш? (Число не может начинаться с нуля).

 

Лист 5, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Кто где. В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидят дядя Фёдор, кот Матроскин, пёс Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и дядей Фёдором, то Фёдор окажется крайним слева. Кто где сидит?
2. Турнир. В шахматном турнире участвовали 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько всего партий они сыграли.
3. Сдача. Мама дала Коле 100 рублей. Он купил несколько порций мороженого по 17 рублей и получил сдачу 5-рублевыми монетами. Сколько монет получил Коля на сдачу?
4. Цепь. Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каждом, и попросили соединить их в одну цепь. Кузнец выполнил заказ, раскрыв только 3 звена. Как он это сделал?

 

Лист 5, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Сумма. Можно ли выбрать N различных натуральных чисел, меньших 100, так, чтобы никакие два из них не давали в сумме 100, если N = 51?
2. Тест. В тесте есть ответы: А, Б, В, Г, и даны 4 подсказки, но только одна из них правдива. 1) верный ответ А или Б; 2) верный ответ В или Г; 3) верный ответ Б; 4) неверный ответ Г. Какой ответ верный?
3. Сдвиги. Когда в Москве 12:00, в Чикаго 3:00 того же дня. Когда в Петропавловске-Камчатском 12:00, в Москве 3:00 того же дня. Который час будет в Чикаго, когда в Петропавловске-Камчатском 3:00?
4. Пути. В круглом парке есть две параллельные дорожки АС и DF, соединенные перпендикулярной тропинкой BE, как показано на рисунке. Какой путь короче: ABEF или CBED?

 

Лист 6, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Вода. Как набрать из реки 6 л воды, если есть два ведра вмещающие 4 л и 9 л ?
2. Брёвна. Сколько было брёвен, если сделали 5 распилов и получили 8 чурбаков? За один раз пилят только одно бревно.
3. Ноги. У котят и цыплят 42 ноги и 12 голов. Сколько было котят и сколько было цыплят?
4. Число. Найдите самое маленькое число, сумма цифр которого равна 20.

Лист 6, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Уголки. Лена разрезала квадрат 5 ґ5 на уголки, состоящие из трёх клеток, и прямоугольники, состоящие из двух клеток. Какое наименьшее число частей она могла получить?
2. Бег. Колонна атлетов длиной 1 км бежит по прямой дороге со скоростью 15 км/ч, а навстречу им идет тренер со скоростью 5 км/ч. Добежав до тренера, атлет разворачивается и бежит назад с той же скоростью 15 км/ч. Какова будет длинам колонны, когда все атлеты развернутся?
3. Таблица. В клетках таблицы 5´5 вписаны числа так, что все 10 сумм в строках и столбцах одинаковы. Известно, что не все числа равны между собой. Какое наибольшее количество одинаковых чисел может оказаться в этой таблице?
4. Кубики. Куб 3×3×3 заполнен 27 кубиками 1×1×1 стеклянными и деревянными. Дима, Серёжа и Лена смотрят на куб с трех сторон: Дима – спереди, Серёжа – сверху, а Лена – сбоку. Все они видят по 3 деревянных кубика. Может ли число деревянных кубиков быть больше трех?

Лист 7, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Шашки. Расставьте на доске 8×8 на черных полях 9 черных шашек так, чтобы белая шашка одним ходом съела все 9. (Белая шашка прыгает по диагонали через черную шашку и при этом ее съедает).
2. Туристы. В туристический лагерь прибыло 200 учеников из Москвы и Орла. Мальчиков среди прибывших было 120 человек, из которых 70 – москвичи. В числе учеников прибывших из Орла, девочек было 50. Сколько учеников из Москвы?
3. Ручки. 6 ручек и 7 карандашей стоят столько же, сколько 36 ластиков. Что дороже 7 ручек и 8 карандашей или 42 ластика?
4. Ряд. Продолжите последовательность 2,6,12,20,30,… и объясните закономерность.

Лист 7, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Молоко. Шарик и Матроскин надоили 10 литров молока, разлили его по двум ведрам и понесли домой. Шарик устал и перелил часть молока из своего в ведра в ведро Матроскина. От этого у Шарика стало молока в 3 раза меньше, а у Матроскина – в 3 раза больше. Сколько молока стало в ведре у Матроскина?
2. Игра. Двое по очереди красят по одной клетке доски 4 x 4. Проигрывает тот, кто закончит окраску какого-нибудь квадрата 2x2, т.е. окрасит в нём последнюю клетку. Кто сможет выиграть, как бы ни играл соперник?
3. Точки. На прямой отмечено 9 красных и 9 синих точек в случайном порядке. Всегда ли можно стереть по 4 точки каждого цвета так, чтобы оставшиеся 5 точек каждого цвета располагались подряд?
4. Камни. Есть 18 камней, их веса различны. Как за 25 взвешиваний на чашечных весах без гирь найти самый тяжелый и самый легкий камни?

Лист 8, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Колеса. Куплено 5 автомобильных колёс (одно запасное). Чтобы покрышки снашивались равномерно, колеса периодически меняют местами. Через 30 тыс.км оказалось, что все колёса сносились полностью. Сколько километров «прошло» каждое колесо?
2. Сетка. Треугольная сетка сделана из шнура, который может гореть. Огонь распространяется по шнуру с одинаковой скоростью по всем направлениям, каждое звено сгорает за 1 минуту. За какое время сгорит сетка, если ее поджечь в точке О?
3. Комнаты. В замке одинаковые комнаты расположены по кругу и последовательно соединены коридорами. В каждой комнате есть люстра и выключатель. Можно ходить по коридорам и при желании включать или выключать свет. Известно, что комнат не больше 100. Как узнать точное число комнат, если в начальный момент некоторые люстры горят? Никаких знаков оставлять в комнатах нельзя.
4. Игра. В левом нижнем углу шахматной доски (8×8) стоит ладья. Двое по очереди двигают ее на любое число клеток вправо или вверх. Кто первым поставит ладью в правый верхний угол, тот победил. Кто из игроков может гарантировать себе победу: «первый» или «второй»?

Лист 8, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Игра. Есть две кучи: 25 и 27 камней. Двое по очереди делят любую из куч на две меньшие. Кто не сможет сделать ход, тот проиграл. Какой из игроков может гарантировать себе выигрыш?
2. Кубик. В центре каждой грани кубика со стороной 3 см проделали сквозные отверстия со стороной квадрата 1 см. Найдите площадь поверхности оставшейся фигуры (снаружи и внутри).
3. НОД. Петя задумал однозначное натуральное число. Вася может назвать любое натуральное число и спросить, чему равен НОД этих двух чисел. Может ли он подобрать такое число, чтобы по ответу наверняка узнать число, задуманное Петей?
4. Имена. Среди четырех человек нет троих с одинаковым именем, нет троих с одинаковым отчеством и нет троих с одинаковой фамилией, но у каждых двоих совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

Лист 9, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. В зале стоит несколько скамеек. Если на каждую скамейку сядут 2 ученика, то 5 учеников останутся без места. Если же на каждую скамейку сядут 3 ученика, то 5 скамеек останутся свободными. Узнай число учеников и количество скамеек в зале.
2. Сумма двух чисел равна 385. одно из них оканчивается нулём. Если 0 зачеркнуть, то получится второе число. Запиши, какие это числа.
3. В классе 23 учащихся. Выше Пети 17 человек, ниже Васи – 13. Сколько человек выше Пети, но ниже Васи, если любые двое разного роста?
4. В таблице 6×6 расставьте 10 крестиков так, чтобы в каждой строке и каждом столбце число крестиков было четным. (Ноль – это четное число).

Лист 9, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Уха. Три охотника варили уху. Первый положил 6 рыб, второй – 4 рыбы, а у третьего рыб не было. Они съели уху поровну. Третий охотник за свою долю заплатил 10 рублей. Сколько должны получить первые два охотника в соответствии с тем, как они накормили третьего? Рыбы одинаковые.
2. Квадраты. Фигура составлена из квадратов. Сторона самого маленького квадрата равна 1 см. Найдите сторону левого нижнего квадрата. Ответ нужен точный, решение подбором или измерением не принимается.
3. Шифр. Два пятизначных числа зашифровали словами УЗКОЕ МЕСТО (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, разные – разными). Пара цифр в числе образует беспорядок, если левая цифра больше правой. Могло ли в этих числах не быть ни одного беспорядка?
4. Команды. В однокруговом турнире играли 16 команд из 16 стран (по одной команде из каждой страны). Могло ли оказаться так, что каждая команда сыграла по одному разу во всех странах, кроме своей родины?

Лист 10, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Винни-Пух. Винни-Пуху подарили на день рождения бочонок меда весом 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал весить 4 кг. Сколько килограммов меда осталось бочонке?
2. Платья. На улице став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?
3. Краска. На окраску кубика ушло 6 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить неокрашенную часть их поверхности?
4. Ребус. Расшифруйте ребус, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам – разные: А + ВВ + А = ССС  (ВВ – это двузначное число, а ССС – трехзначное).

Лист 10, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Семья. В семействе кенгуру двое самых легких весят 25% от суммарного веса всех членов семейства, а трое самых тяжелых – 60%. Сколько всего кенгуру в этом семействе?
2. Ладьи. В клетках шахматной доски расставлены ладьи так, что в каждой строке и каждом столбце стоят ровно две ладьи. Всегда ли можно убрать 8 ладей так, чтобы в каждой строке и каждом столбце осталась ровно одна ладья?
3. Разрезы. Квадрат разрезан по двум перпендикулярным прямым на 4 прямоугольника, которые покрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке. Известно, что сумма площадей черных прямоугольников равна сумме площадей белых прямоугольников. Верно ли, что хотя бы одна из проведенных прямых делит квадрат пополам?
4. Игра. На клетчатой полоске 1×40 в первой слева клетке стоит фишка. Два игрока по очереди двигают фишку (вправо или влево) на любое возможное число клеток, на которое еще не ходили в предыдущие ходы. Побеждает тот, кто делает последний ход. Кто может гарантировать себе победу? Длина хода – это расстояние между центрами клеток (бывает от 1 до 39).

 Лист 11, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Очки. На школьной олимпиаде по математике участникам было предложено решить 6 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось по 7 очков, а за каждую нерешенную списывалось 3 очка. Сколько задач решил участник, если он набрал 12 очков?
2. Орехи. Белка спрятала орехи в дуплах трёх деревьев. В дуплах первого и второго вместе – 45 орехов, второго и третьего – 60 орехов, а первого и третьего – 55 орехов. Сколько орехов оказалось в дупле каждого дерева?
3. Яблоки. В ящике перемешаны по 100 яблок трёх сортов. Какое наименьшее число яблок надо вынуть из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди них наверняка оказались:

      а) хотя бы 2 яблока одного сорта; б) хотя бы 3 яблока одного сорта?

4. Части. Разрежьте квадрат на 6 одинаковых (равных) частей так, чтобы эти части были не прямоугольниками и не треугольниками.

 Лист 11, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Лампы. Каждая из 12 ламп, расположенных по кругу, может гореть либо не гореть. За один ход можно изменить состояние любых трех ламп, стоящих подряд. Вначале горит одна лампа. Можно ли добиться того, чтобы горели все 12 ламп?
2. Ломаная. Замкнутая ломаная на плоскости такова, что любые два ее звена имеют ровно одну общую точку. Докажите, что число ее звеньев нечетно.
3. Астрономы. На каждой из 11 планет сидит 1 астроном, который наблюдает ближайшую к нему планету. Все расстояния между планетами различны. Докажите, что хотя бы одну из этих планет никто не наблюдает.
4. Шифр. Два пятизначных числа зашифровали словами УЗКОЕ МЕСТО (одинаковые цифры – одинаковыми буквами, разные – разными). Пара цифр в числе образует беспорядок, если левая цифра больше правой. Могло ли в этих числах не быть ни одного беспорядка?

Лист 12, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Циферблат. Разрежьте циферблат стрелочных часов прямолинейным разрезом на две части так, чтобы суммы цифр в обеих частях были равными.
2. Бег. По круговой дорожке длиной 300 м в одном направлении бегут Антон и Олег. Антон обгоняет Олега через каждые 12 минут. Через 36 минут бег прекратили. На сколько больше кругов пробежал Антон?
3. Брёвна. Сто трёхметровых бревна распилили на метровые чурбаки. Сколько сделали распилов?
4. Мыши. Кот Базилио поймал за 4 дня 80 мышей. При этом каждый день (начиная со второго) он ловил столько мышей, сколько во все предыдущие дни вместе. Сколько мышей поймал кот в каждый из этих четырёх дней?

ЛИСТ 12, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019 (трудные задачи)

1. Торты. Малыш и Карлсон одновременно начали есть одинаковые торты. Через 10 минут Малыш понял, что столько не съест, а Карлсон понял, что ему маловато будет, и они решили поменяться остатками тортов. После обмена они доели торты одновременно. Сколько минут они доедали торты? Надо объяснить, почему других ответов нет.
2. Корабль. На доске 6 × 6 расположен корабль 1 × 6. Какое наименьшее число детекторов надо расположить в клетках доски так, чтобы по их одновременным показаниям можно было определить положение корабля? Детектор, находящийся в клетке, показывает, занимает ли корабль эту клетку или нет.
3. Игра. В ряд стоят 2018 тарелок, они пронумерованы от 1 до 2018. На первых двух тарелках лежит по одному мандарину. Играют двое, они по очереди берут один (любой) из мандаринов и переносят его вперед на любую тарелку с большим номером, если она свободна. Кто не может сделать ход, тот проиграл. Кто может гарантировать себе выигрыш, первый игрок или второй?
4. Жильцы. Какое наименьшее число жильцов можно вселить в 30 квартир так, чтобы в любых трёх произвольно взятых квартирах проживало не менее 7 человек?

Лист 13, 2-4 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019

1. Банки. В ведре 8 л воды, есть две пустые банки на 5 л и 3 л. Других ёмкостей нет. Как переливать воду, чтобы в ведре и большой банке оказалось по 4 литра воды?
2. Колёса. В гараже стоят 100 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колёс, а легковые – по 4 колеса. Сколько и каких автомобилей в гараже, если всего колёс 460?
3. Столбы. Вдоль беговой дорожки равномерно расставлены столбы. Старт дан у первого столба. Через 12 минут бегун был у четвёртого столба. Через сколько минут от начала старта бегун будет у седьмого столба, если скорость его постоянна?
4. Годы. Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне теперь лет?

Лист 13, 5-8 класс, конкурс ВМШ, 2018-2019 (трудные задачи)

1. Столбы. Вдоль дороги стоят километровые столбы на расстоянии 1 км друг от друга. Один из них желтый какие-то 6 – красных, а остальные – белые. Сумма расстояний от желтого столба до всех красных равна 14 км. Найдите наибольшее возможное расстояние между двумя красными столбами.
2. Угол. Сколько времени в течение суток минутная и часовая стрелка образуют тупой угол? Стрелки образуют два угла, берем меньший из них. Стрелки движутся равномерно. Прямой и развернутый угол времени не занимают.
3. Вычерк. Найдите все натуральные числа, которые оканчиваются на 97 и которые после вычеркивания этих двух цифр уменьшаются в целое число раз. (За верный ответ «+/2», за доказательство, что других ответов нет «+»).
4. Игра. На пустой клетчатой полоске (бесконечной в обе стороны) два игрока ходят по очереди. Первый может поставить 2 крестика на любые 2 свободных поля доски. Второй может стереть любое число крестиков, идущих подряд (между которыми нет пустых клеток). Если после хода первого образовались 10 или больше крестиков подряд, он выиграл. Может ли первый обеспечить себе победу?