ВМШ, 2011/2012 уч. год.
Цель конкурса – поддержать тех учащихся ВМШ, кому хочется решать интересные задачи чаще, чем раз в неделю, научить детей записывать свои решения. Участие в конкурсе добровольное. Если ученик решил хотя бы одну задачу, мы его поощрим. Подведение итогов будет в конце календарного и в конце учебного года.
В конце занятия раздается листок, на котором 4 задачи. Сдавать решения каждого листка можно на двух следующих занятиях, затем задачи обсуждаются, и сдавать решения этого листка уже нельзя. Сверху надо указать фамилию, имя, класс и номер листка, затем записать решения. Только ответ не считается решением, – надо объяснить, как он получен.
Задачи подбирает А.К. Ковальджи. Они несложные, но необычные по постановке вопроса. Более трудные задачи отмечены звездочкой. Такие задачи по выражению Гуго Штейнгауза – математический зоопарк, в котором дети знакомятся с новыми по сравнению со школьной программой идеями решений и способами рассуждений.
Вопросы, замечания и предложения по поводу конкурса ВМШ можно направлять Александру Кирилловичу Ковальджи по адресу Адрес электронной почты защищен от спам-ботов. Для просмотра адреса в вашем браузере должен быть включен Javascript.. Если ребенок проболел и не успел сдать решения, то их тоже можно прислать по почте, например, сфотографировав его записи.
Листок 1
1. Волосы. Мальчик на лето постригся, от каждой волосинки остался 1 мм. Если все остатки волосинок вытянуть в одну прямую, то какой длины волос получится? Всего на голове 200 тысяч волос.
2. Монеты. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала проиграл первый и отдал второму половину своих монет. Затем проиграл второй и отдал первому половину имеющихся монет. Потом проиграл первый и отдал половину. В результате у первого стало 15 монет, а у второго 33. Сколько монет было у пиратов в начале?
3. Голуби. Стая голубей села на дерево и под ним. Если с земли один голубь перелетит на дерево, то на дереве станет в три раза больше голубей чем на земле, а если один голубь слетит с дерева на землю, то голубей станет поровну. Сколько голубей село на дерево сначала?
4. Мяч *. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутов: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскут граничит по стороне с пятью белыми, а каждый белый – с тремя белыми и тремя черными. Сколько черных лоскутов? (Решить задачу надо не глядя на мяч).
Листок 2
5. Конфеты. 16 тарелок расставили по кругу. Можно ли разложить на тарелках 55 конфет так, чтобы число конфет на любых двух соседних тарелках отличалось на 1?
6. Конь. На плоскости стоит шахматный конь. Известно, что он совершал прыжки двух видов: либо на 2 м верх, а затем на 1 м вправо, либо на 2 м вправо, а затем на 1 м вверх. В итоге он удалился от начальной точки на 40 м вправо и на 50 м вверх. Сколько прыжков сделал конь?
7. Походы. В каждый из четырех походов ходила группа из 20 человек. Во все 4 похода ходили 10 человек. Ровно в 3 похода ходили 9 человек. Ровно в 2 похода ходили 5 человек. Сколько человек ходило только в 1 поход?
8. Школа. Расстояние между деревнями А и В равно 3 км. В деревне А – 300 школьников, в деревне В – 200 школьников. Где следует построить школу, чтобы общее расстояние, пройденное всеми школьниками по дороге в школу, было как можно меньше? (Деревни считаем точками).
Листок 3
9. Забег. Во время забега Вася заметил, что впереди него бежит одна треть всех участников, позади – половина всех участников, а рядом с ним никого нет. Сколько человек участвовало в забеге?
10. Делёж. Саша и Валя купили на двоих велосипед. Саша внес 2000 руб., а Валя – 3000 руб. (Саша остался должен Вале). Потом они продали велосипед за 4000 руб. Как им поделить деньги, если мальчики катались на велосипеде одинаково? (Был уговор – вносить деньги поровну и делить выручку поровну.)
11. Чашки. Кувшин = бутылка + стакан; 2 кувшина = 7 стаканов; бутылка = чашка + 2 стакана; бутылка = сколько чашек?
12. Пираты *. На корабле 30 пиратов. Пират называется лихим, если он сбросил за борт трех других пиратов. Каково могло быть наибольшее число лихих пиратов на корабле и за бортом? (Сам себя пират не выбрасывает, двое одного не выбрасывают, из воды не достают).
Листок 4
13. Гуси. Летела стая гусей, а навстречу гусь. Он и говорит: «Здравствуйте, 100 гусей!». А ему отвечают: «Если бы нас было еще столько, да еще полстолько, да еще четверть столько, да еще ты, гусь, то нас было бы 100». Сколько гусей в стае? (Четверть столько – от начального числа).
14. Пешком. Если половину пути от дома до школы Петя идет пешком, а половину пути едет на автобусе, то он тратит на дорогу 30 минут, а если он весь путь едет на автобусе, то добирается до школы за 15 минут. Сколько минут Петя идет от дома до школы пешком?
15. Максимум. Используя каждую цифру 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 только один раз, составьте два пятизначных числа, сумма которых наибольшая.
16. Вруны. По кругу стоят 12 гномов, которые либо правдивы, либо вруны. Каждый сказал своему соседу справа: «Ты врун». Сколько гномов сказали правду?
Листок 5
17. Баллы. Игроку было предложено 30 вопросов. За каждый правильный ответ ему начисляли 7 баллов, а за каждый неправильный ответ с него снимали 12 баллов. В итоге игрок набрал 77 баллов. Сколько правильных ответов он дал?
18. Конфеты. В коробке лежат конфеты в один слой в виде прямоугольника. В каждом ряду одинаковое количество конфет. Петя съел первый ряд конфет (слева направо) – 11 штук, а Маша после этого съела правый ряд (сверху вниз) – 5 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?
19. Мультфильм. Костя смотрел мультфильм 10 минут, с начала, но не до конца. Женя смотрела мультфильм 15 минут, до конца, но не с начала. Сколько минут они смотрели мультфильм вместе, если всего он продолжался 20 минут?
20. Дни. У Руслана, Лизы и Максима спросили: «Какой сегодня день недели?» Руслан сказал: «Вчера была пятница». Лиза: «Сегодня четверг». Максим: «Завтра будет воскресенье». Позже оказалось, что один из них сказал правду, а двое ошиблись. В какой день недели это было?
Листок 6
21. Кубик. На рисунке изображена развертка кубика. На ней поставлены числа 1 и 2. Расставьте остальные числа 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на любых двух противоположных гранях равнялась 7.
22. Время. Чебурашка пошел на день рождения к Крокодилу Гене. Когда он прошел половину пути, он вспомнил, что забыл дома подарок и вернулся. Поэтому он пришел к Гене на 20 минут позже. Сколько времени шел бы Чебурашка к Гене, если бы не был таким забывчивым?
23. Автобусы. Для поездки за город заказали несколько одинаковых автобусов. 115 человек поехали на озеро, 138 – в лес. Все места в автобусах были заняты, и все сидели по одному. Сколько было заказано автобусов и сколько мест в каждом автобусе?
24. Нефть. Баррель – это 159 л. Что выгоднее купить нефть по 1500 долларов за баррель или по 10 тыс. долларов за кубометр?
Листок 7
25. Соль. В кастрюле сварили 2 кг супа, положив в него 15 г соли. Сколько соли окажется в одной тарелке, если в нее налить 400 г супа?
26. Годы. Три года назад внучка была втрое младше деда, а через 16 лет будет вдвое младше. Сколько лет каждому?
27. Делимое. Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного. Чему равно делимое?
28. Мёд. Половину мёда разлили в трёхлитровые бочонки и половину – в пятилитровые. Всего 40 бочонков. Сколько было трёхлитровых бочонков?
Листок 8
29. Ходьба. Брат вышел из дома, когда сестра прошла 1 км, зато он шёл в полтора раза быстрее. На каком расстоянии от дома он её догонит?
30. Дробь. Числитель несократимой дроби увеличили на 3, а знаменатель — на 8. Могла ли получиться дробь, равная исходной? (Если да – укажите эту дробь).
31. Ряд. В строчку написано 10 чисел, причём сумма любых трёх последовательных чисел одна и та же. Первое число равно 7. Чему равно последнее число?
32. Равенство. Придумайте 10 натуральных чисел, у которых и сумма, и произведение равны 20.
