Система Orphus
  Сайт второшкольников
Написать
письмо
Эти задачи (А.К.Ковальджи) были предложены абитуриентам на вступительных зачетах «Устная математика» в лицей «Вторая школа» в 2014 году.
Решения пишите на двойных листках и сдавайте в течение 2 недель, пишите фамилию, имя, класс и номер листа.

Лист 1

1. Нарисуйте, как разделить деревянный кубик четырьмя плоскими разрезами на 12 равных частей.
2. За одно нажатие на кнопку калькулятора можно увеличить число на его дробную часть (например, из 2/7 получить 4/7, а из 3,8 получить 4,6). Начав с положительного числа, меньшего 1, за три нажатия получили число 3. С какого числа начали? Сколько есть решений?
3. Ладья обошла все клетки шахматной доски по одному разу и вернулась в исходную клетку. Соединим центры клеток по порядку, в котором ладья их обошла. Получится замкнутая ломаная. Найдите длину этой ломаной, если сторона клетки равна 1 см.
4. Если к числителю некоторой дроби прибавить 4, а к знаменателю прибавить 10, то значение дроби не изменится. Придумайте такую дробь, у которой числитель и знаменатель больше ста.


Лист 2

1.     На доске выписаны все числа от 1 до 2014. Каждую секунду с каждым числом проделывают операцию: если число не делится на 100, то из него вычитают 1, а если делится на 100, то его делят на 100. Найдите наибольшее среди чисел на доске через минуту.
2.     Брат сказал сестре: «Когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас, я был старше тебя в 2 раза. Во сколько раз брат старше сестры сейчас?
3.     Даны 100 предметов и весы с двумя чашами без гирь. Как за 148 взвешиваний найти самый тяжелый и самый легкий предметы?
4.     Каждую неделю Витя получает в школе три отметки (целое число от 2 до 5): одну по математике, одну по физике и одну по русскому языку. Родители хвалят его, если по большинству предметов отметки повысились по сравнению с предыдущей неделей. Сможет ли Витя так получать отметки, чтобы его хвалили весь год?

Лист 3

1.     По 10-и сундукам разложено 10 монет. На каждом сундуке написано: «Тут ровно одна монета». Известно, что среди этих надписей есть ровно три неверные. Докажите, что в одном из сундуков находятся ровно 3 монеты.
2.     Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?
3.     Известно, что маляр, будучи в веселом настроении, работает вдвое быстрее, чем в грустном. В первую неделю он покрасил на 300 метров забора больше, чем во вторую, потому что во вторую неделю грустил на 2 дня больше, чем в первую. Сколько метров забора в день красит грустный маляр?
4.     Каждая грань куба разделена на 4 равных квадрата, и каждый квадрат окрашен в один из трех цветов: красный, синий и зеленый так, что квадраты, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Сколько может быть красных квадратов? Решение перебором не принимается.

Лист 4

1.    Найдите четырехзначное число, которое после умножения на 9 даёт число, изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке. Есть ли еще такие числа?
2.    Кот Базилио пообещал Буратино открыть Великую тайну, если он составит чудесный квадрат 4×4 из чисел +1, 0 и –1 так, чтобы все суммы по строкам, столбцам и по большим диагоналям были различны. Сможет ли Буратино составить чудесный квадрат?
3.    Существует ли невыпуклый 10-угольник, который одной прямой можно разрезать на 6 частей?
4.    ИГРА. Винни-Пух и Пятачок молча вспоминали названия рек. Винни-Пух вспомнил 5 рек, а Пятачок вспомнил 9 рек. Потом они по очереди стали называть по одной реке, которые они вспомнили. Кто не мог назвать новую реку, тот проиграл. Начинал Винни-Пух. Возможен ли такой порядок называния рек, при котором проиграет Пятачок?

Лист 5

1.    ПЕРИМЕТРЫ. Сторона большого квадрата разбита на 4 неравных отрезка, на каждом из которых, как на стороне, построен квадрат. Что больше сумма периметров маленьких квадратов или периметр большого квадрата?
2.    СТУПЕНИ. Игорь может идти или бежать по эскалатору. В каком случае он насчитает ногами больше ступенек: если идёт по ходу эскалатора или бежит против хода эскалатора быстрее эскалатора?
3.    БАТАРЕЙКИ. Есть 5 батареек, из которых 3 заряжены, а 2 разряжены. Фотоаппарат работает от двух заряженных батареек. Покажите, как за 4 попытки можно гарантированно включить фотоаппарат.
4.    ЛАДЬИ. На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что найдется ладья, бьющая не более двух других.

Лист 6

1.    В школе колдовства 13 учеников. Перед экзаменом преподаватель посадил их за круглый стол и попросил угадать, кто из них сдаст экзамен. Каждый умолчал про себя и двух своих соседей, а про остальных написали: «Никто из этих десяти не сдаст!» Все сдавшие экзамен угадали, а все остальные не угадали. Сколько колдунов сдали экзамен?
2.    Площадку размером 1х1 м замостили плитками размером 5х20 см, границы которых параллельны стенам. Все стыки между плитками и между стенами и плитками нужно обработать лаком. Какова общая длина стыков? (Плитки могут граничить разными по длине сторонами.)
3.    В лотерейном билете 49 номеров (от 1до 49), из которых 6 будут объявлены счастливыми. В билете можно отметить любые 6 номеров. Чем больше отмеченных номеров совпадет со счастливыми, тем больше выигрыш. Какое наименьшее число билетов нужно купить, чтобы наверняка угадать 1 счастливый номер?
4.    В компании 10 человек. Каждому из них нравится не меньше 5 человек в этой компании. Докажите, что найдутся 2 человека, которые нравятся друг другу.

Лист 7

1.    Петя и Вася бегут наперегонки с постоянными скоростями. Сначала Петя находился от финиша на расстоянии 100 м, а Вася – 85 м. Через некоторое время Пете осталось до финиша 40 м, а Васе – 35 м. Кто прибежит первым?
2.    С давних пор школьная библиотека выписывает каждый месяц 10 журналов, которые хранятся ровно 5 лет, а потом списываются. Журналы получают и списывают одновременно. Сколько журналов хранится в школьной библиотеке?
3.    На плоскости лежит картонный квадрат АВСD, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в исходное место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).
4.    В школе 50 отличниц и 100 блондинок. Среди отличниц 15 любят тяжелый рок, а среди блондинок 90 любят тяжелый рок. Докажите, что среди отличниц не больше половины блондинок.

Лист 8

1.    На шахматной доске 8×8 на каждой горизонтали и на каждой вертикали стоит ровно по две ладьи. Докажите, что можно убрать 8 ладей так, что на каждой горизонтали и на каждой вертикали останется ровно одна ладья.
2.    В ателье печатают фотографии, причем цена зависит от числа фотографий. Печать одной фотографии стоит 3,5 руб., если фотографий меньше ста, и стоит 3 руб., если фотографий 100 или больше. Например, выгоднее напечатать 100 фотографий по 3 руб., чем 99 по 3,5 руб. При каком наименьшем числе фотографий можно дополнить их число до ста, чтобы после этого плата за печать уменьшилась?
3.    Пёс и кот одновременно схватили зубами батон колбасы с разных сторон. Если пёс откусит свой кусок и убежит, коту достанется на 300 г больше, чем псу. Если кот откусит свой кусок и убежит, псу достанется на 500 г больше, чем коту. Сколько колбасы останется, если оба откусят свои куски и убегут?
4.    Петя разрезал квадрат 8×8 см на прямоугольники с периметром 16 см, а Вася разрезал точно такой же квадрат на прямоугольники с периметром 18 см. Могло ли у Васи получиться больше прямоугольников чем у Пети?

Лист 9

1.    В клетках доски 8х8 записаны произвольные числа. Разрешается любые два числа заменять их полусуммами (например, вместо 1 и 3, в тех же клетках пишут 2 и 2). Докажите, что все числа на доске можно сделать равными.
2.    Пятеро друзей скинулись на покупку за 500 руб. Докажите, что какие-то двое из них вместе заплатили не меньше 200 руб.
3.    Как разрезать прямоугольник 22×15 см на прямоугольники 3×5 см?
4.    Из трех отрезков можно сложить треугольник, если любые два из них в сумме длиннее третьего. Верно ли, что среди любых пяти отрезков всегда найдутся три, из которых можно сложить треугольник?

Лист 10

1.    Имеется 3 яйца. Заказано 2 из них варить 4 минуты, а одно – 2 минуты. В кастрюлю помещаются 2 яйца. Как выполнить заказ за 5 минут?
2.    Правда ли, что любое трехзначное число больше произведения его цифр?
3.    Рассеянный ученик складывал два числа, но к первому числу нечаянно приписал ноль, поэтому вместо 2014 он получил 4120. Найдите первое слагаемое.
4.    Можно ли стороны и диагонали правильного 7-угольника покрасить в 6 цветов так, чтобы из каждой вершины выходили все 6 цветов? (Каждый отрезок покрашен в один цвет).

Лист 11

1.​ На доске 4×4 стоят несколько королей, которые бьют все клетки (король бьёт и ту клетку, на которой он стоит). Докажите, что можно оставить только четыре из этих королей так, что они тоже будут бить все клетки доски.
2.​ В клетках таблицы 3×3 стоят нули. За один ход выбирают квадрат 2×2 и увеличивают в нем все числа на 1. Можно ли с помощью таких ходов получить таблицу на рисунке?

4
9
5
12
20
10
7
11
6

3.​ Каждый из 30 игроков и ведущий записали все числа от 1 до 30 в некотором порядке. Затем каждому игроку дали столько очков, сколько раз у него и у ведущего на одинаковых местах стояли одинаковые числа. Оказалось, что все игроки набрали разное число очков. Докажите, что чья-то запись совпала с записью ведущего.
4.​ Можно ли расставить по кругу 10 различных натуральных чисел так, чтобы каждое из них делилось хотя бы на одно из двух соседних с ним чисел?

Лист 12

1.​ Маше и Саше дали по одинаковой колоде карточек с буквами (на каждой карточке написано по одной букве). Ребята смешали все карточки и стали составлять слова. Сначала они составили слово ПАПА. Потом они вновь смешали карточки и составили слово МАМА. Потом — МАША, а потом — САША. Известно, что была ровно одна карточка, которая ни разу не выкладывалась на стол. Что написано на этой карточке?

2.​ Сейф заперт на 6 замков. К сейфу имеют доступ 4 начальника. Как раздать ключи начальникам (можно делать копии ключей) так, чтобы любые трое из них могли, собрав свои ключи, отпереть сейф, а никакие двое – не могли?

3.​ Учитель дал ученику карточку с вопросом. Уговор был такой: если ответ будет верный, то вопросов больше не будет, а если ответ будет неверный, то учитель даст две новые карточки с вопросами. На каждый вопрос ученик отвечает только один раз. Всего ученик дал 11 верных ответов, после чего давать новые карточки было не нужно. Сколько было неверных ответов?

4.​ Однажды барон Мюнхгаузен, вернувшись с прогулки, рассказал, что половину пути он шёл со скоростью 5 км/ч, а половину времени, затраченного на прогулку — со скоростью 6 км/ч. Не ошибся ли барон?

Лист 13

1.​ ГНОМЫ. За круглый стол сели 7 братьев-гномов разных возрастов. Гномы всегда говорят правду всем старшим братьям, а младшим — всегда врут. Каждый гном сказал своему правому соседу: "Все здесь присутствующие говорят мне только неправду". В каком порядке сидят гномы? (Почему ответ единственный?).

2.​ ШАРИКИ. В Радужном городе живут 13 чебурашек. У каждого чебурашки есть 3 воздушных шарика: 1красный, 1 синий и 1 зелёный. Могут ли чебурашки поменяться своими шариками друг с другом так, чтобы у каждого оказались шарики только какого-то одного цвета?

3.​ ТУРНИР. В шахматном турнире играли 20 мастеров. Каждый мастер сыграл по одной партии с 15-ю любителями, а каждый любитель – с 10-ю мастерами. Сколько было любителей? (Ответ без объяснения не принимается.)

4.​ ДОСКА. Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы черные не били никого по вертикали, а белые не били никого по горизонтали (т.е. на этих линиях не было других ладей)?

Лист 14

1.​  Куб со стороной 5 см составлен из 125 кубиков со стороной 1 см. Кубики целиком покрашены в белый или черный цвет. Соседние кубики (которые касаются плоскостями) покрашены в разные цвета. Известно, что один угловой кубик белый. Сколько всего белых кубиков?

2.​  Продавец купил на базе яблоки и продает 1 кг яблок за 100 руб., а 5 кг – за 400 руб., при этом его прибыль от продажи 5 кг в 3 раза больше, чем прибыль от продажи 1 кг. По какой цене за кг продавец купил яблоки? (Прибыль – это разность между стоимостью продажи и стоимостью покупки.)

3.​  Саша вошел в парк по направлению на север. Гуляя по парку, он либо шел прямо, либо поворачивал направо, либо налево. К концу прогулки он сделал 20 поворотов направо и 30 поворотов налево. В каком направлении он вышел из парка? Объясните, почему результат не зависит от порядка поворотов.

4.​ Гусеница длиной 100 мм ползет по веточке со скоростью 1 мм/с. Навстречу гусенице по этой веточке бежит муравей со скоростью 10 мм/с. Муравей вскочил на гусеницу и пробежал по ней (при этом оба не меняли своей скорости) и побежал по веточке дальше. Сколько времени потерял муравей из-за того, что ему пришлось пробегать по ползущей гусенице, а не бежать просто по веточке?

Лист 15

1.​ Вдоль дорожки между домами Незнайки и Синеглазки росли 15 пионов и 15 тюльпанов вперемешку. Выйдя из дома в гости к Незнайке, Синеглазка поливала все цветы подряд. После 10-го тюльпана вода закончилась, и 10 цветов остались неполитыми. Назавтра, выйдя из дома в гости к Синеглазке, Незнайка собирал для нее цветы подряд. Сорвав 6-й тюльпан, он решил, что для букета достаточно. Сколько цветов собрал Незнайка?

2.​ Заяц и Волк стартуют одновременно и бегут по кругу в одном направлении. Скорость Зайца 5 м/с, скорость Волка 7 м/с. Сколько кругов пробежит Заяц после старта до следующей встречи с Волком?

3.​ Паша клеил картину-пазл. За одну минуту он склеивал вместе 2 куска (начальных или уже склеенных). В результате он затратил на склеивание пазла 2 часа. За какое время он закончил бы работу, если бы склеивал за одну минуту не по два, а по три куска?

4.​ Из 100 кубиков 80 имеют красную грань, 85 – синюю, 75 – зеленую. Какое наименьшее число кубиков, которые имеют грани всех трех цветов?

---------------------------------------------------------------
Завершился  конкурс ВМШ этого года.