Система Orphus
  Сайт второшкольников
Написать
письмо

Каждую неделю на сайте выкладываются 4 задачи, которые не требуют специальных знаний, поэтому их могут решать ученики всех классов. Задачи берутся из вступительных зачетов в Лицей прошлого года.

Кто хочет, решает задачи и пишет решения на двойных листах в клетку и сдает учителю. Если хотя бы одна задача решена, то уже стоит написать ее решение, поскольку цель конкурса  не только научиться решать задачи, но и четко записывать свои мысли.

На решение задач дается неделя. Тот, кто пропустил одно или несколько занятий подряд, может принести решения позже. Нельзя сдавать решения задач, если ученик присутствовал на занятии, на котором эти задачи уже были разобраны.

Наверху листочка напишите свою фамилию, имя, класс, день недели (в который Вы занимаетесь в ВМШ) и номер листа. Например: Иванов Иван, 5 класс, среда, Лист 1.

Условия задач переписывать не нужно. Решения нужно записывать так, чтобы их понял тот, кто не решал задачу.

В течение года задачи будут постепенно усложняться.

Просьба к родителям – не диктовать решения детям, – это не приносит им пользы. Если ребенок не может решить задачу за разумное время, то можно подсказать ему идею решения, чтобы он мог сам ее додумать. Наиболее трудные задачи будут разобраны на занятиях.

Примеры задач и оформления решений:

1. Сколько чисел от 1 до 1000 включительно, которые делятся и на 5 и на 3?
Решение. Это числа, которые делятся на 15, поэтому надо поделить 1000 на 15 и результат округлить в меньшую сторону.
Ответ: 66.

2. Есть доска 99x99 клеток с шахматной раскраской. Левая верхняя клетка белая. На сколько больше на этой доске белых клеток, чем черных?
Решение. В соседних строках соседние клетки разных цветов, поэтому в двух соседних строках поровну белых и черных клеток. Можно выделить 98 строк,  в них поровну белых и черных клеток. В оставшейся строке можно выделить 49 пар соседних клеток. Последняя клетка будет белая (она стоит на одной диагонали с первой клеткой).
Ответ: белых клеток на одну больше, чем черных.

3. В селе Капелюшки 250 домов. В некоторых домах по одной кошке, в половине остальных домов две кошки, а в оставшихся домах нет кошек. Сколько всего кошек живет в домах села Капелюшки?
Решение. Из домов, в которых две кошки, переместим по одной кошке в дома, в которых нет кошек, тогда во всех домах станет по одной кошке.
Ответ: всего 250 кошек.

4. Найдите наименьшее четырёхзначное число, у которого сумма цифр больше, чем у любого меньшего числа.
Решение. Докажем, что это число 1999. Если бы мы выбрали четырехзначное число меньше 1999, то его сумма цифр была бы не больше 27, а у числа 999 сумма цифр тоже 27, значит, наше число не меньше 1999. Число 1999 подходит, поскольку у любого меньшего числа сумма цифр не больше 27, а у нашего – сумма 28.
Ответ: 1999.

Лист 1.

Лист 2
1.    Деление. Найдите все такие натуральные числа, при делении которых на 5 в частном получается то же число, что и в остатке.
2.    Кубики. У Вани 100 кубиков – красных, синих и зеленых. 75 из них не красные, 60 – не синие. Сколько зеленых кубиков у Вани?
3.    Ручки. Магазин купил на фабрике ручки и продает их по 100 рублей. Если покупатель купит две ручки, то третью ему дадут в подарок. Известно, что магазин получает одну и ту же прибыль как от продажи одной ручки, так и от продажи двух ручек. По какой цене магазин купил ручки на фабрике? (Прибыль – это разность между стоимостью продажи и стоимостью покупки).
4.    Разрезалка. Разрежьте квадрат 7х7 на 10 различных прямоугольников. Прямоугольники одинаковые, если их можно совместить.

Лист 3
1. Будильник. У Сони неторопливый будильник: за каждый час он отстает на 3 минуты. Сейчас на этом будильнике 11:41. Через сколько минут на нем будет 12.00?
2. Возрасты. Терри сейчас вдвое меньше лет, чем было Алисе, когда она была на 5 лет старше, чем Терри сейчас. Сколько лет Терри сейчас?
3. Волосы. Волосы на голове у Печкина растут равномерно, каждый волос живет ровно 1500 дней, а потом выпадает, каждый день выпадает ровно 100 волос. Сколько волос на голове у Печкина?
4. Клетки. Каким наименьшим числом прямых можно зачеркнуть все клетки доски 3×3?

Лист 4
1.    Шарики. В ящике 10 белых, 15 синих и 20 красных шариков. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не видя их цвета, чтобы среди вытащенных шариков обязательно оказалось 3 шарика одного цвета?
2.    Разность. Есть 6 карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из них можно составить два трехзначных числа. Если вычесть из большего числа меньшее, то какую наименьшую разность можно получить?
3.    Делимое. Делимое в 6 раз больше делителя, а делитель в 6 раз больше частного, остатка нет. Чему равны делимое, делитель и частное?
4.    Множества. Петя посчитал число шахматистов в классе, кроме тех шахматистов, которые не отличники, а Вася посчитал тех отличников, кроме тех отличников, которые не шахматисты. Верно ли, что у них получились одинаковые числа?

Лист 5
1.    Воскресенья. Какое наименьшее число воскресений может быть в году?
2.    Периметр. Диагональ делит четырехугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 и 30 см. Найдите длину этой диагонали.
3.    Хоровод. В хороводе стоят 30 детей. Правый сосед каждой девочки – мальчик. У половины мальчиков правый сосед – тоже мальчик, а у остальных мальчиков справа стоит девочка. Сколько мальчиков в хороводе?
4.    Великаны. Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алеша Попович вступили в бой с великанами. Все великаны, получив по три удара богатырскими палицами, обратились в бегство. Больше всех ударов нанес Илья – 7, меньше всех Алеша – 3. Сколько великанов обратилось в бегство?

 Лист 6
1.    Прирост. Каждую из сторон прямоугольника, периметр которого равен 16,2 см, увеличили на 1 см. На сколько при этом увеличилась площадь прямоугольника?
2.    Гири. Имеется 6 одинаковых по виду монет: 3 настоящих и 3 фальшивых, которые легче настоящих и весят одинаково. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти две настоящие монеты?
3.    Повторы. Компьютер каждую секунду выполняет две операции: умножает число на 2, затем из результата вычитает 0,123 и т.д. Придумайте начальное число, чтобы через 100 секунд компьютер получил такое же число.
4.    Делимость. Докажите, что при любых цифрах А и В шестизначное число ABABAB (черта сверху) делится на 7.
5.    Шары. В ящике 70 шаров: 20 красных, 20 зеленых, 20 желтых, остальные – черные и белые. Какое наименьшее число шаров нужно вытащить в темноте, чтобы среди них обязательно нашлись 10 шаров одного цвета? Шары отличаются только цветом.

Лист 7
1.    Грани. Можно ли раскрасить грани куба в три цвета так, чтобы каждый цвет присутствовал, но нельзя было увидеть одновременно грани всех трех цветов. Одновременно можно увидеть только три грани с общей вершиной.
2.    Лжецы. По кругу стоят 10 человек. Каждого спросили, кто стоит справа от него, рыцарь или лжец? Могло ли так случиться, что ровно один человек ответил: «лжец»? Каждый из них либо рыцарь, либо лжец.
3.    Фотографы. Спортсмен пробежал один круг с постоянной скоростью. В точках круга А и Б стояли два фотографа. В течении 3 минут спортсмен был ближе к А, чем к Б. За какое время он пробежал дистанцию?
4.    Олимпиада. В олимпиаде по математической лингвистике участвовали математики и лингвисты. Мальчиков было 18, а математиков было 24. Мальчиков-математиков было столько же, сколько девочек-лингвистов. Сколько всего детей участвовало в олимпиаде?


Лист 8
1.    Шарики. В Радужном городе живут 100 чебурашек. У каждого из них есть 7 воздушных шариков – по одному шарику каждого из цветов радуги. Могут ли чебурашки поменяться своими шариками так, чтобы у каждого оказались шарики только какого-то одного цвета?
2.    Скамейки. Зрители сели на скамейки по 3 человека, и троим не хватило места. Когда они сели по 4 человека, то 3 скамейки оказались лишними. Сколько было зрителей?
3.    Соседи. Сколькими способами на шахматной доске (8×8) можно отметить две соседние по стороне клетки?
4.    Пазл. Паша клеил картину-пазл. За одну минуту он склеивал вместе 2 куска (начальных или уже склеенных). В результате он затратил на склеивание пазла 2 часа. За какое время он закончил бы работу, если бы склеивал за одну минуту не по 2, а по 3 куска?

Лист 9
1. Среднее. Сумма трех различных натуральных чисел равна 99. Какое наибольшее значение может принимать среднее по величине число?
2. Эскалатор. Двое бегут с разной скоростью вниз по ходу эскалатора метро. Кто из них насчитает больше ступенек — тот, кто бежит быстрее, или тот, кто бежит медленнее? (Считают пройденные ступеньки).
3.  Фонари. Расположите на плоскости несколько фонарей, которые светят только в одном направлении (вершина и луч) так, чтобы ни к одному фонарю нельзя было подойти ближе, чем на 1 м, не попав под луч одного из фонарей.
4.  Письма. В компании 10 друзей, и каждый послал 5 писем разным друзьям в этой компании. Докажите, что какие-то двое послали письма друг другу.

Лист 10
1. Кот. С полудня до полуночи Ученый Кот спит под дубом, а с полуночи до полудня он рассказывает сказки. Табличка на дубе говорит: «Два часа назад Учёный Кот делал то же, что он будет делать через час». Сколько часов в сутки табличка говорит правду?
2. Делители. Простые числа имеют ровно два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют ровно три различных делителя?
3. Вставка. Существуют ли такие три треугольника, что первый нельзя поместить во второй, второй нельзя поместить в третий, но первый можно поместить в третий?
4. Тетради. Тетрадь, ручка и карандаш стоят 120 рубля. А 5 тетрадей, 2 ручки и 3 карандаша стоят 350 рублей. Что дороже, 2 тетради или 1 ручка?

Лист 11

Лист 12

1.    Жители. На острове 5 жителей, каждый из них либо правдивый, либо лжец. Первый житель сказал: «Все мы лжецы». Остальные по очереди сказали: «Все, кто говорили до меня, лжецы». Сколько правдивых жителей на острове?
2.    Возрасты. Возраст корабля вдвое превышает возраст, в котором был его двигатель, когда кораблю было столько же лет, сколько двигателю в настоящее время. Каково отношение возрастов корабля и двигателя?
3.    Монеты. У Пети 10 монет. Если он наугад вытащит 7 монет, то среди них обязательно найдутся три разные. Какое наибольшее число одинаковых монет могло быть у Пети?
4.    Кафтан. Хозяин обещал работнику за 30 дней 54 рубля и кафтан. Через 3 дня работник уволился и получил кафтан. Сколько стоил кафтан?

Лист 13

1.    Бусы. Бусы в виде кольца содержат 35 бусин. Любые две бусины, между которыми ровно две бусины, одинакового цвета. Сколько разных цветов бусин может быть в этих бусах?
2.    Ребус. Шестизначное число оканчивается цифрой 5. Если переставить эту цифру с последнего места на первое, то получится число в 4 раза больше первоначального. Найдите эти числа.
3.    Башни. Замок имеет форму квадрата с четырьмя башнями по углам. Имеется 21 талисман. Если в двух соседних башнях сумма талисманов будет 11 или больше, то стена между ними станет неприступной. Докажите, что как бы не распределять талисманы между башнями, ровно две стены окажутся неприступными.
4.    Варианты. В комнате находится 10 человек. Каждый из них сказал: «Среди остальных 9-и человек (всех, кроме меня) ровно пятеро — шахматисты». Сколько человек сказали правду? Перечислите все варианты и объясните, почему других вариантов нет.

Лист 14
1.      Драконы. 10 драконов отличаются только цветом. Среди любых четырех из них найдутся двое одного цвета. Докажите, что найдутся 4 дракона одного цвета.
2.      Раскраска. Каждая грань куба 2х2 разделена на 4 квадратика. Какое наибольшее число квадратиков можно покрасить, чтобы никакие два покрашенных квадратика не имели общей стороны?
3.      Суммы. Коля задумал четыре числа и выписал на доске пять из шести их попарных сумм. Это оказались числа 17, 19, 20, 24, 26. Найдите шестую сумму (объясните, почему других вариантов нет).
4.      Пираты. На вечеринку пришло 30 пиратов. Пират считается крутым, если он выбросит за борт двух других (они не возвращаются). Какое наибольшее количество крутых пиратов может оказаться? Крутой пират, упавший за борт, остается крутым.