Система Orphus
  Сайт второшкольников
Написать
письмо
Конкурс ВМШ 2016-2017 уч.год Печать
Конкурс ВМШ для 4-7 классов.

Каждую неделю на сайте выкладываются 4 задачи, которые не требуют специальных знаний, поэтому их могут решать ученики всех классов. Задачи берутся из вступительных зачетов в Лицей прошлого года. 

Кто хочет, пишет решения на двойных листах в клетку и сдает учителю. Если решена хотя бы одна задача, то уже стоит участвовать в конкурсе.

На решение задач дается неделя. Тот, кто пропустил одно или несколько занятий подряд, может принести решения на очередное занятие. Нельзя сдавать решения задач, разобранных на занятиях, на которых ученик присутствовал.

Условия задач сдавать или переписывать не нужно, а записывать решения нужно (только ответ не принимается). Наверху листочка напишите свою фамилию, имя, класс, день недели (в который Вы посещаете ВМШ) и номер листа.

В течение года задачи будут постепенно усложняться.

Убедительная просьба к родителям – не диктовать решения детям, – это не приносит им пользы. Если ребенок не может решить задачу за разумное время, то можно подсказать ему идею решения, чтобы он мог сам ее додумать. В любом случае, наиболее трудные задачи будут разобраны на занятиях.

Пример задач и оформлений решений:
1. Сколько чисел от 1 до 1000 включительно, которые делятся и на 5 и на 3?
2. Есть доска 99x99 клеток с шахматной раскраской. Левая верхняя клетка белая. На сколько больше на этой доске белых клеток, чем черных?
3. В селе Капелюшки 250 домов. В некоторых домах по одной кошке, в половине остальных домов две кошки, а в оставшихся домах нет кошек. Сколько всего кошек живет в домах села Капелюшки?
4. Найдите наименьшее четырёхзначное число, у которого сумма цифр больше, чем у любого меньшего числа.

Иванов Иван, 5 класс, среда, Лист __

1. Это числа, которые делятся на 15. Каждое пятнадцатое число делится на 15, поэтому надо поделить 1000 на 15 и результат округлить в меньшую сторону. Ответ: 66.
2. В соседних строках клетки разных цветов, поэтому в двух соседних строках поровну белых и черных клеток. Можно выделить 49 пар строк, - в них тоже поровну белых и черных клеток. В оставшейся строке можно выделить 49 пар соседних клеток. Последняя клетка будет белая (она стоит на одной диагонали с первой клеткой. Ответ: белых клеток на одну больше, чем черных.
3. Из домов, в которых две кошки, переместим по одной кошке в дома, в которых нет кошек, тогда во всех домах станет по одной кошке. Ответ: всего 250 кошек.
4. Докажем, что это число 1999. Если бы мы выбрали четырехзначное число меньше 1999, то его сумма цифр была бы не больше 27, а у числа 999 сумма цифр тоже 27, значит, наше число не меньше 1999. Число 1999 подходит, поскольку у любого меньшего числа сумма цифр не больше 27, а у нашего – сумма 28. Ответ: 1999.

Лист 1
1. Шкатулки. Сто одинаковых шкатулок расположены в ряд, в одной находится бриллиант, а остальные пустые. На каждой шкатулке сделана надпись: «Бриллиант лежит в соседней шкатулке». Известно, что ровно одна надпись правдива, а остальные ложные. Как, открыв всего лишь одну шкатулку, узнать, в какой из них находится бриллиант? 
2. Движение. Между пунктами А и Б расстояние 120 км, автомобиль и мотоцикл, двигаясь навстречу друг другу, встретились посередине пути. Скорость автомобиля 60 км/ч, мотоцикла – 80 км/ч. На сколько минут раньше выехал автомобиль из пункта А, чем мотоцикл из пункта Б?
3. Палиндром. Назовем число зеркальным, если слева направо оно «читается» так же, как справа налево. Например, число 12321 – зеркальное. Сколько существует пятизначных зеркальных чисел, которые делятся на 5? 
4. Квадрат. Найдите наименьшее натуральное число, большее 10001, которое является квадратом натурального числа.

Лист 2.
1.    Турнир. Сделаны четыре прогноза на победу в шахматном турнире: 1) победит Аня; 2) победит не Аня; 3) победит не Боря; 4) победит Ваня. В турнире оказался один победитель и при этом ровно один прогноз оказался верным. Кто победил в турнире?
2.    Классы. В классе у Коли столько же детей, сколько в классе у Оли. Коля говорит Оле: «У нас в классе мальчиков вдвое больше, чем у тебя». А Оля отвечает: «Зато у нас девочек втрое больше, чем у тебя». Могло ли такое быть? (Коля и Оля себя тоже посчитали).
3.     Монеты. У Пети в кармане несколько монет, причем среди любых трех найдется монета 1 рубль, а среди любых четырех найдется монета 2 рубля. Петя вытащил из кармана 5 монет. Можно ли точно сказать, какие это монеты?
4.     Встреча. Волк бежит 3 раза быстрее Зайца. Расстояние между ними было 150 м. Сколько метров пробежит Заяц до момента, когда Волк его догонит?

Лист 3.
1. Суммы. Кот Базилио пообещал Буратино открыть Великую тайну, если он составит чудесный квадрат 4×4 из чисел +1, 0 и –1 так, чтобы все суммы по строкам, столбцам и по большим диагоналям были различны. Сможет ли Буратино составить чудесный квадрат?
2. Ладья. Ладья обошла все клетки шахматной доски по одному разу и вернулась в исходную клетку. Соединим центры клеток по порядку, в котором ладья их обошла. Получится замкнутая ломаная. Найдите длину этой ломаной, если сторона клетки равна 1 см. Почему длина ломаной всегда одна и та же?
3. Числа. Можно ли расставить по кругу 10 различных натуральных чисел так, чтобы каждое из них делилось хотя бы на одно из двух соседних с ним чисел?

4. Грани. Каждая грань куба разделена на 4 равных квадрата, и каждый квадрат окрашен в один из трех цветов: красный, синий и зеленый так, что квадраты, имеющие общую сторону, окрашены в разные цвета. Сколько может быть красных квадратов? Решение перебором не принимается.

Лист 4.
1.    Футбол. В команде 22 футболиста. 9 из них умеют бить по воротам с левой ноги, 14 – с правой, при этом 5 умеют делать и то, и другое. Остальные футболисты умеют бить только головой. Сколько футболистов не умеют бить ногами?
2.    Часы. Часы спешат на 5 минут в час. В полночь их установили правильно. Вечером этого же дня они показали 19 часов 30 минут. Какое было в этот момент правильное время?
3.    Бег. Заяц и Волк стартуют одновременно и бегут по кругу в одном направлении. Сколько кругов пробежит Заяц до момента, когда Волк его догонит, если скорость Зайца 5 м/с, а скорость Волка 6 м/с.
4.    Отметки. Каждую неделю Витя получает в школе три отметки (целое число от 2 до 5): одну по математике, одну по физике и одну по русскому языку. Родители хвалят его, если по большинству предметов его отметка повысилась по сравнению с предыдущей неделей. Сможет ли Витя так получать отметки, чтобы его хвалили весь год?

Лист 5.

Лист 6.

Лист 7.

Лист 8.

Лист 9.

Суперконкурс. Лист 10 (трудные задачи).
Чтобы в новогодние каникулы было чем заняться, предлагаем поучаствовать в конкурсе по решению трудных задач, которые давались в прошлом году на вступительном зачете «Устная математика».

1.    Булки. Фрекен Бок поставила на стол 15 тарелок с булками. На первой тарелке лежит 1 булка, на второй 2, на третьей 3 и так далее. Карлсон иногда залетает в окно и с нескольких тарелок забирает одинаковое количество булок. За какое наименьшее число прилетов Карлсон может забрать все булки?
2.    Приз. Есть 10 коробок, занумерованных от 1 до 10. В одной из них лежит приз. Ведущий знает, где приз. Зритель может послать ведущему 9 записок с вопросами, требующими ответа «да» или «нет». Ведущий перемешивает записки и честно отвечает на все вопросы. В результате зритель знает только количество ответов «да» и «нет». Какие вопросы надо задать, чтобы наверняка узнать номер коробки с призом?
3.    Счетчик. В квадрате 6х6 клеток поочередно закрашивают по одной клетке. Закрасив очередную клетку, записывают в ней число – количество закрашенных клеток соседних с ней по стороне. Закрасив полный квадрат, складывают все числа, записанные в клетках. Всегда получается 60. Почему?
4.    Кузнечики. Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент времени оказаться в вершинах а) квадрата меньшего размера; б) квадрата большего размера.

Лист 11.
1.    Степени. Каково наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 становится квадратом, а после умножения на 3 — кубом целого числа?
2.    Сумма. На координатной прямой отмечен отрезок АВ длиной 1 см, отмечены 3 точки слева от АВ и 4 точки справа от АВ. Сумма расстояний от всех семи точек до А равна 2017 см. Чему равна сумма расстояний от всех точек до В?
3.    Монеты. Каждая монета весит целое число граммов. Имеется 10 настоящих монет и 11 фальшивых, которые на 1 г легче настоящих. Отметили одну монету. Как с помощью одного взвешивания на весах со стрелкой узнать, какая это монета, настоящая или фальшивая? (На вид монеты одинаковые, класть на весы можно любое число монет, весы показывают общий вес).
4.    Движение. Маша и Саша, поссорившись, пошли с равными скоростями в противоположные стороны. Через 3 минуты Саша решил помириться и, развернувшись, стал догонять Машу, увеличив скорость в три раза. Сколько пройдёт минут, прежде чем он догонит Машу?

Лист 12
1.    Минимакс. Триста человек выстроены в 30 шеренг и 10 рядов. Из каждой шеренги выбрали самого высокого человека, а из этих 30 человек выбрали самого низкого. Потом из каждого ряда выбрали самого низкого человека, а из этих 10 человек – самого высокого. Кто окажется выше: самый высокий из низких или самый низкий из высоких?
2.    Жители. На острове есть только рыцари и лжецы. Часть жителей заявила, что на острове четное число рыцарей, а остальные жители заявили, что на острове нечетное число лжецов. Могло ли на острове быть 2015 жителей? (Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут).
3.    Игра. Есть клетчатый прямоугольник 5×7. В его левом нижнем углу стоит фишка. Двое по очереди передвигают фишку на любое возможное число клеток вправо либо вверх. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто может гарантированно выиграть, первый игрок или второй?
4.    Карандаши. Винни-Пух достал из коробки два карандаша разного цвета и положил обратно, Пятачок достал из этой же коробки два карандаша разного размера и положил обратно. Сова утверждает, что наверняка можно найти в коробке два карандаша, которые будут одновременно разного цвета и разного размера. Верно ли это?

Лист 13.

Лист 14   (трудные задачи).
1.    Скорости. Пони и ослик бегали с постоянными скоростями по кругу длиной 100 метров. Пони каждые 2 минуты обгонял ослика. Когда ослик увеличил скорость вдвое, он сам стал каждые 2 минуты обгонять пони. С какими скоростями бегали пони и ослик изначально?
2.    Игра. Даны 14 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, –7, –8, –9, –10, –11. Двое по очереди выбирают по одному числу, пока числа не закончатся. Затем каждый складывает свои 7 чисел. Побеждает тот, у кого больше сумма по абсолютной величине. Докажите, что будет ничья.
3.    Делимость. Сумма двух натуральных чисел равна 770. Докажите, что их произведение не может делиться на 770.
4.    Число. Придумайте число, при умножении которого на 2 получаем новое число, у которого сумма цифр в 4 раза меньше.

Лист 15   (трудные задачи).

1.    Умножение. Верно ли, что любое трехзначное число больше произведения его цифр?
2.     Уголки. Некоторые клетки доски 8х8 покрашены в белый цвет, а некоторые – в черный. Разрешается выбрать любой уголок из трех клеток и перекрасить все его клетки в противоположный цвет. Докажите, что таким способом можно все клетки перекрасить в черный цвет.
3.    Столбики. Расстояние между городами 701 км. Вдоль дороги стоят километровые столбики с надписями (1, 700), (2, 699), (3, 698), … (700, 1). Известно, что число 701 простое. Докажите, что все пары чисел на столбах не имеют общих делителей, кроме единицы.
4.    Торт. По краю круглого торта равномерно расположены кремовые розочки – 10 красных и 10 зеленых в произвольном порядке. Докажите, что можно одним прямолинейным разрезом разделить торт на два куска так, чтобы в каждом куске было поровну красных и зеленых розочек. (Разрез проходит между розочками).

------------------------------------------------

Лист 15 был последним. Советуем всем просмотреть еще раз все листы конкурса и вспомнить решения задач, поскольку на последних занятиях будет предложена работа, составленная из наиболее важных задач конкурса ВМШ этого года.

Напоминаем, что занятия ВМШ заканчиваются в марте, а 1 апреля стартует приемная кампания.